CHƯƠNG TRÌNH
BỒI DƯỠNG CHUYÊN ĐỀ TOÁN

Hội Toán học Hà Nội và Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội

Địa điểm: Hội trường Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Chương Mỹ,
số 2 Khu Yên Sơn, Thị trấn Chúc Sơn, huyện Chương Mỹ. 8h00 ngày 07.05.2010

Vị trí tương đối của hai đường tròn trong mặt phẳng

Ths Đỗ thanh Sơn (ĐHKHTN)

Trong chương trình toán 9 của Bộ giáo dục và đào tạo có một nội dung liên quan đến vị trí tương đối của hai đường tròn nằm trong cùng một mặt phẳng . Nội dung đó được trình bày ở các trang từ 117 đến 120 trong sách toán 9 của bộ giáo dục và đào tạo. Trang 118 có viết
+ Hai đường tròn có 2 điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nhau .
+ Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc với nhau .
+ Hai đường tròn không có điểm chung được gọi là hai đường tròn không giao nhau.
Tại trang 120 khi xét hai đường tròn không giao nhau , các tác giả của sách giáo khoa có đề cập đến khai niệm hai đường tròn nằm ngoài nhau và hai đường tròn đựng nhau. Tuy nhiên các khai niệm đó không được định nghĩa mà chỉ minh hoạ bằng các hình 93 và 94 . Các dấu hiệu nhận biết hai đường tròn nằm ngoài nhau hoặc đựng nhau , hai đường tròn tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài với nhau, được biểu thị qua các đại lượng như khoảng cách giữa hai tâm và bán kính của hai đường tròn . Những dấu hệu đó không được chứng minh . Việc trình bày nội dung quá sơ sài khiến học sinh hiểu lơ mơ và khi giải những bài toán liên quan đến hai đường tròn học sinh thường lúng túng.
Mục đích của bài giảng này là khác phục một số điều vừa nói ở trên.

I. Định nghĩa hai đường tròn nằm ngoài nhau , đựng nhau.

Cho hai đường tròn (O1; R1) và (O2 ; R2).
a) Ta nói hai đường tròn đã cho nằm ngoài nhau nếu mọi điểm của đường tròn (O1; R1) nằm ngoài đường tròn (O2; R2) và mọi điểm của đường tròn (O2; R2) nằm ngoài đường tròn (O1; R1). Tức là ta có các bất đẳng thức sau đây O2M1 > R2 và O1M2 > R1 với mọi điểm M1 thuộc (O1; R1) và M2 thuộc (O2; R2).

b) Ta nói đường tròn (O1; R1) đựng đường tròn (O2; R2) nếu mọi điểm thuộc đường tròn (O2; R2) nằm trong đường tròn (O1; R1). Tức là O1M2 < R1 với mọi điểm M2 thuộc (O2; R2).
Từ các định nghĩa trên ta suy ra một số tính chất của hai đường tròn không giao nhau.
Các tính chất này được trình bày dưới dạng bài tập .

1. Chứng minh rằng nếu hai đường tròn (O1; R1) và (O2 ; R2) nằm ngoài nhau , thì điểm O1 nằm ngoài (O2 ; R2) và điểm O2 nằm ngoài (O1; R1) .

Chứng minh . Gỉa sử đường thẳng O1O2 cắt đường tròn (O1; R1) tại hai điểm A, B và (O2 ; R2) tại hai điểm C, D. Theo định nghĩa ta có các điểm A, B nằm ngoài đường tròn (O2 ; R2) , tức là O2A > R2 và O2B > R2 . Vì O1 là trung điểm của đoạn AB , nên O1 nằm giữa hai điểm A và B .Ta coi B nằm trên tia O1O2 . Vì BO2 > R2 , nên C ( hoặc D) nằm trên đoạn BO2 sao cho O2C =R2. Từ thứ tự các điểm B và C trên đoạn O1O2 , suy ra rằng O1O2 > O2C =R2 . Tương tự như vậy đối với O2.

2.Chứng minh rằng nếu đường tròn (O1; R1) đựng đường tròn (O2 ; R2) , thì điểm O2 nằm trong (O1 ; R1) .

Chứng minh . Vẫn sử dụng các ký hiệu của bài tập 1 ta có O1C < R1 và O1D < R1 . Vì O2 là trung điểm của đoạn CD , nên ta có thể coi C thuộc tia O2O1 , điểm D thuộc tia đối của O2O1. Vì DO1 = DO2 + O2O1 và DO1 < R1 , suy ra O2O1 < R1 .

3. Chứng minh rằng nếu hai đường tròn (O1; R1) và (O2 ; R2) nằm ngoài nhau , thì O1O2 > R1+ R2 (*) . Ngược lại nếu điều kiện (*) thoã mãn , thì hai đường tròn nằm ngoài nhau .

Chứng minh . Theo bài 1, O1 năm ngoài đường tròn (O2 ; R2) , nghĩa là O1O2 > R2 , nên tồn tại điểm C trên đoạn này sao cho O2C = R2. Tương tự O2 ngoài (O1 ; R1) , nên tồn tại điểm B trên đoạn O1O2 sao cho O1B = R1. Vì B thuộc đường tròn (O1 ; R1) và C nằm ngoài đường tròn này , nên O1C > O1B. Tức là B nằm giữa O1 và C. Từ đó ta có O1O2 = O1B + BC + CO2 = R1 + R2 + BC > R1+ R2.
Nếu (*) thoã mãn , thì tồn tại các điểm B, C trên đoạn O1O2 sao cho O1B =R1 , CO2 =R2 .
Vì O1O2 > R1+R2 O1O2 –R1 > R2 O1O2 - O1B >R2 BO2 > R2 . Điều này chứng tỏ B nằm ngoài (O2;R2). Tương tự ta có CO1 > R1 và C ngoài (O1; R1). Gọi D là điểm đối xứng với C qua O2, khi đó CD là đường kính của (O2;R2) và DO1 > O1O2 > O1B =R1 . Với điểm M bất kỳ thuộc (O2; R2) khác C và D ta hạ MH vuông góc với CD. Vì tam giác CDM vuông tại M , nên H nằm trên đoạn CD. Tức là H và B khác phía nhau đối với C trên đường thẳng O1O2, nên ta có CO1 < HO1 < MO1 . Tức là M nằm ngoài (O1; R1) và theo định nghĩa đường tròn (O2;R2) nằm ngoài (O1; R1). Tương tự (O1; R1) nằm ngoài (O2;R2).

4. Chứng minh rằng nếu hai đường tròn (O1; R1) đựng (O2 ; R2) , thì O1O2 < R1- R2 (*) . Ngược lại nếu điều kiện (*) thoã mãn , thì đường tròn (O1; R1) đựng (O2 ; R2) .

Chứng minh . Nếu (O1 ; R1) đựng (O2 ; R2), thì O2 nằm trong (O1 ; R1). Nếu O2 trùng với O1 ,thì O1O2 = 0 và (*) đúng . Nếu O1 khác O2 , thì tồn tại điểm B trên (O1 ; R1) sao cho đoạn bán kính O1B chứa tâm O2. Trên tia O2B ta chọn điểm C sao cho CO2 = R2 , khi đó C thuộc (O2 ; R2). Vì vậy C nằm trong (O1 ; R1) . Nghĩa là C nằm tren đọan O2B. Từ thứ tự các điểm O2, C trên đoạn O1B , suy ra O1B = O1O2 + O2C + CB R1 –R2 = O1O2 + CB > O1O2 . Đảo lại nếu (*) xảy ra , thì O1O2 < R1. Tức là O2 nằm trong (O1 ; R1) . Tồn tại điểm B thuộc (O1 ; R1) sao cho đoạn bán kính O1B chứa O2. Từ điều kiện O1O2 +R2 < R1 suy ra tồn tại điểm C trên đoạn O1B sao cho O1C = O1O2+ R2. Rõ ràng C thuộc (O2 ; R2) và C nằm trong (O1 ; R1). Với mọi điểm M thuộc (O1 ; R1) khác C ta có O1M < O1O2+O2M =
O1O2 +R2 = O1O2+ O2C < R1 . Tức là M nằm trong (O1 ; R1).

5. Cho hai đường tròn hai đường tròn (O1; R1) và (O2 ; R2). Nếu một trong hai đường tròn đi qua 3 điểm nằm ngoài đường tròn kia , thì có thể khẳng định hai đường tròn nằm ngoài nhau không ?

Trả lời không .

6.Cho hai đường tròn hai đường tròn (O1; R1) và (O2 ; R2). Nếu một trong hai đường tròn đi qua 3 điểm nằm trong đường tròn kia , thì có thể khẳng định hai đường tròn đựng nhau không ?

Trả lời : không
6. Cho đường tròn (O ;R) và hai điểm A, B nằm trong đường tròn. Có tồn tại đường tròn đi qua A, B và nằm trong đường tròn đã cho không ?

7. Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B. Gỉa sử A nằm trong đường tròn , B nằm ngoài đường tròn. Chứng minh rằng đường bất kỳ đi qua A, B cắt đường tròn (O;R).

8. Gỉa sử các đường tròn (O1; R1) , (O2; R2) nằm ngoài nhau. Chứng minh tồn tại một đường thẳng d không có điểm chung với các đường tròn đã cho và hai đường nằm khác phía đối với d .

II. Định nghĩa hai đường tròn tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong với nhau.

Cho hai đường tròn (O1; R1) và (O2 ; R2).
a) Ta nói hai đường tròn đã cho tiếp xúc với nhau tại điểm M nếu hai đường tròn này chỉ có một điểm chung M.
b) Ta nói hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm M , nếu chúng chỉ có một điểm chung M và mọi điểm khác M thuộc đường tròn thứ nhất nằm ngoài đường tròn thứ hai và mọi điểm khác M của đường tròn thứ hai nằm ngoài đường tròn thứ nhất .
c) Ta nói hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau tại điểm M nếu chúng chỉ có một điểm chung M và mọi điểm khác M thuộc đường tròn thứ nhất nằm trong đường tròn thứ hai .

1. Chứng minh rằng nếu hai đường tròn (O1; R1) và (O2 ; R2) tiếp xúc với nhau tại M , thì M nằm trên đường thẳng O1O2.

Chứng minh . Gỉa sử M không nằm trên đường thẳng O1O2 .Gọi M là điểm đối xứng với M qua O1O2 , khi đó O1M = O1M và O2M = O2M. Điều đó chứng tỏ M là điểm chung thứ hai khác M của hai đường tròn . Mâu thuẫn này chứng minh khẳng định của bài toán

2.Nếu hai đường tròn (O1; R1) và (O2 ; R2) tiếp xúc với nhau tại M , thì đường thẳng d vuông góc với O1O2 tại M là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Nếu tâm của hai đường tròn nằm khác phía nhau đối với d , thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau. Nếu tâm của hai đường tròn cùng phía đối với d , thì hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau hoặc trùng nhau .

Chứng minh . Ta biết rằng vì d tiếp xúc với (O1; R1) tại M , nên mọi điểm thuộc đường tròn và O1 cùng phía đối với d . Tương tự , mọi điểm thuộc (O2;R2) và O2 cùng phía đối với d . Trường hợp O1 và O2 khác phía đối với d . Nếu M là điểm bất kỳ thuộc (O1;R1) khác M , thì M và O2 khác phía với d . Đoạn MO2 cắt d tại điểm N ta có MO2 > NO2 > MO2= R2. Tương tự đối với điểm M bất kỳ thuộc (O2;R2) , ta có MO1 > R1 . Trường hợp O1 và O2 cùng phía đối với d , khi đó hoặc O1 nằm trên đoạn O2M hoặc O2 nằm trên đoạn O1M hoặc O1 và O2 trùng nhau . Nếu O1 và O2 trùng nhau , thì hai đường tròn trùng nhau. Ta xét O1 nằm trên đoạn O2M , tức là R2 > R1 . Với điểm M bất kỳ thuộc (O1; R1) và khác M ta có O2M < O1M + O1O2 =O1M + O1O2 = O2M =R2. Điều đó chứng tỏ M nằm trong đường tròn (O2; R2) và đường tròn (O2; R2) đựng đường tròn (O1; R1).

3. Nếu hai đường tròn (O1; R1) và (O2 ; R2) tiếp xúc ngoài với nhau , thì O1O2 = R1+R2 (*)
Ngược lại nếu điều kiện (*) được thoã mãn , thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau.

4.Nếu hai đường tròn (O1; R1) và (O2 ; R2) ( R2 > R1 ) tiếp xúc trong với nhau , thì O1O2 = R2- R1 (*) .Ngược lại nếu điều kiện (*) được thoã mãn , thì hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau.
Hướng dẫn . Việc chứng minh các bài 8 và 9 dựa vào bài tập 7.

5. Cho hai đường tròn (O1; R1) và (O2 ; R2) ( R1 > R2 ) không đựng nhau.
a) Nếu hai đường tròn cắt nhau , thì tồn tại hai tiếp tuyến chung. Mỗi tiếp tuyến này có tính chất là hai đường tròn nằm cùng phía đối với nó. Ta gọi tiếp tuyến chung như vậy là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn.
b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau , thì tồn tại hai tiếp tuyến chung ngoài và một tiếp tuyến chung trong(là tiếp tuyến mà hai đường tròn nằm khác phía đối với nó)
c) Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau , thì tồn tại một tiếp tuyến chung trong
d)Nếu hai đường tròn nằm ngoài với nhau , thì tồn tại hai tiếp tuyến chung ngoài và hai tiếp tuyến chung trong.

6. Gỉa sử AB là một tiếp chung ngoài của hai đường tròn (O1;R1) và (O2;R2) với A là tiếp điểm thuộc (O1;R1) , B là tiếp điểm thuộc (O2;R2). Ký hiệu (O ) là đường tròn đường kính AB . Chứng minh rằng
a) (O1;R1) và (O2;R2) nằm ngoài nhau khi và chỉ khi (O) cắt đường thẳng O1O2.
b) (O1;R1) và (O2;R2) tiếp xúc ngoài với nhau khi và chỉ khi (O) tiếp xúc với đường thẳng O1O2 .
c) (O1;R1) và (O2;R2) nằm ngoài nhau khi và chỉ khi (O) không có điểm chung nào với O1O2.
Chứng minh . Gọi I là trung điểm của đoạn O1O2 , O là chân đường vuông góc hạ từ I xuông AB. Trong hình thang vuông ABO2O1 (vuông tại A và B) đường IH là đường trung bình . Do đó OI = và O là tâm của đường tròn (O). Kẻ OK vuông góc với O1O2 . Vì O2B // OI , nên hai tam giác O2IO và BIO có diện tích bằng nhau và ta có OI.AB = OK.O1O2.
a) (O1;R1) và (O2;R2) nằm ngoài nhau khi và chỉ khi R1+R2 < O1O2 khi và chỉ khi 2OI < O1O2 khi và chỉ khi 2OK < AB =2R ( R là bán kính của (O)) khi và chỉ khi (O) cắt đường thẳng O1O2.
Các kết quả b) , c) lập luận tương tự .

III. Một số bài toán khác liên quan đến hai đường tròn.

Nhiều bài toán hay về đường tròn và tam giác hoặc tứ giác được xây dựng trên cơ sở hai đường tròn cắt nhau. Dưới đây là một số bài toán như vậy , nhưng không có lời giải.

1. Cho hai đường tròn O và O cắt nhau tại hai điểm A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với O tại C và O tại D. Gọi K là giao điểm của AB và đường thẳng đi qua tâm của hai đường tròn.
a)Chứng minh rằng một trong hai điểm A và B nhìn đoạn CD dưới một góc nhọn , điểm còn lại nhìn CD dưới một góc tù .
b) Chứng minh rằng K nhìn CD dưới một góc nhọn.

2.Cho hai đường tròn với tâm O và Onằm ngoài nhau . Gỉa sử A, B, C, D là các giao điểm của các tiếp tuyến chung khác loại của hai đường tròn .
a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D ,O , O nằm trên cùng một đường tròn và đường tròn này được ký hiệu bằng (S).
b) Đường tròn (S) cắt đường tròn O tại hai điểm P, Q và cắt đường tròn O tại hai điểm P, Q. Các tia OP và OQ cắt đường tròn O tại M và N. Các tia OP và OQ cắt O tại các điểm E và F. Chứng minh rằng MN = EF.
c) Các tiếp tuyến chung của hai đường tròn tâm O và S tiếp xúc với S tại các điểm K và K. Các tiếp tuyến chung của hai đường tròn O và S tiếp xúc với S tại L và L. Chứng minh rằng dây cung KK của S tiếp xúc với đường tròn tâm O và dây cung LL của đường tròn đó tiếp xúc với đường tròn tâm O.

3. Hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại hai điểm P và Q. Một đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn đó tại các điểm A và B ( A thuộc O1 ) và coi P gần đường thẳng AB hơn Q. Điểm đối xứng với P qua AB được ký hiệu là E. Đường thẳng AE cắt O1 lần thứ hai tại C. Đường thẳng BE cắt O2 lần thứ hai tại D.
a) Chứng minh rằng 3 điểm C, D , P thẳng hàng .
b) Chứng minh rằng E cách đều hai đường thẳng QC và QD.

4.Cho hai đường tròn tâm O và tâm O cắt nhau tại hai điểm A và B. Ký hiệu MN , PQ lần lượt là các dây cung của các đường tròn tâm O và O.
a)Gỉa sử MN // PQ . Chứng minh rằng nếu MP đi qua A , thì NQ đi qua B.
b) Gỉa sử MP đi qua A . Chứng minh rằng MN // PQ khi và chỉ khi NQ đi qua A.

5. Cho hai đường tròn O và O nằm ngoài nhau. Một trong hai tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn tiếp xúc với O tại A1 và O tại A3 , tiếp tuyến còn lại tiếp xúc với O tại A2 và O tại A4 . Một trong hai tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với O tại B1 và O tại B3 , tiếp tuyến còn lại tiếp xúc với O tại B2 và O tại B4 . Đường thẳng A1A3 cắt đường thẳng B1B3 và B2B4 tại các điểm M và N. Đường thẳng A2A4 cắt đường thẳng B1B3 tại E
a) Chứng minh rằng trung điểm của hai đoạn thẳng A1A3 và MN trùng nhau. Trung điểm của B1B3 và ME trùng nhau.
b) Chứng minh rằng 4 đường tròn đường kính A1A3 , A2A4 , B1B3, B2B4 cắt nhau tại hai điểm nằm trên đường thẳng đi qua tâm của hai đường tròn đã cho.

6. Cho hai đường tròn tâm O và tâm O cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường tròn tâm O ta lấy điểm M , trên đường tròn tâm O ta lấy điểm N. Chứng minh rằng MN đI qua A khi và chỉ khi .

7. Cho hai đường O và O không đựng nhau. Gỉa sử AB là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (A , B là các tiếp điểm ).
a) Chứng minh rằng hai đường tròn O và O nằm ngoài nhau khi và chỉ khi đường tròn đường kính AB cắt đường thẳng nối tâm tại hai điểm phân biệt.
b) Chứng minh rằng hai đường tròn O và O cắt nhau khi và chỉ khi đường tròn đường kính AB không có điểm chung với đường thẳng nối tâm .
c) Chứng minh rằng hai đường tròn O và O tiếp xúc ngoài với nhau khi và chỉ khi đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng nối tâm .